Besonders stolz sind wir auf unsere Basislehrpläne. Sie beinhalten ALLE Themen aus allen Schularten und Klassenstufen in allen Bundesländern. Wir verbinden damit unsere Lernressourcen und die landes- und klassenspezifischen Lehrpläne sowie unsere Lernressourcen. Dadurch können wir für jeden Schultyp und jede Klasse die passenden Angebote liefern.
Basislehrplan Mathematik
Grundlegender Inhaltsbereich zu Zahlbegriffen, Rechenoperationen und deren Gesetzmäßigkeiten. Zieht sich von Klasse 1 bis zum Abitur.
Die verschiedenen Mengen von Zahlen – von den natürlichen Zahlen der Grundschule bis zu den reellen Zahlen der Oberstufe. Jeder Zahlbereich erweitert den vorherigen.
Positive ganze Zahlen inkl. 0. Erste und grundlegendste Zahlmenge. Spiralförmig von Klasse 1 bis 6.
Erste Begegnung mit Zahlen. Zählen, Mengen erfassen, Zahlen darstellen. Klasse 1.
Mengen bis 10 simultan erfassen. Zahlen als Anzahl, Reihenfolge und Maßzahl verstehen.
Ziffern 0–10 schreiben und lesen. Zahlen als Wort und Ziffer kennen.
Zweistellige Zahlen einführen. Zehner und Einer am Zwanzigerfeld darstellen.
Kleiner, größer, gleich. Zahlenstrahl bis 20. Vorgänger und Nachfolger bestimmen.
Zehner als Bündelungseinheit. Stellenwertsystem einführen. Klasse 2.
Zehner und Einer unterscheiden. Zahlen in Worten und Ziffern. Zahlen am Hunderterfeld.
Zahlenstrahl bis 100. Gerade und ungerade Zahlen. Nachbarzehner bestimmen.
Additive Zerlegung in Zehner und Einer (47 = 40 + 7). Verschiedene Zerlegungen einer Zahl finden.
Hunderter als neue Bündelungseinheit. Dreistellige Zahlen.
Hunderter, Zehner, Einer. Stellenwerttafel einführen. Zahlen in Worten.
Zahlenstrahl bis 1.000. Zahlen zwischen Hunderterschritten einordnen. Nachbarhunderter.
Stellenwerte erkennen und nutzen. 537 = 500 + 30 + 7. Verschiedene Zerlegungen vergleichen.
Auf Zehner und Hunderter runden. Grundlage für Überschlagsrechnung.
Tausender und Millionen. Großer Zahlenraum der Grundschule.
Tausender und Millionen einführen. Dreistellige Gruppen lesen. Zahlen in der Stellenwerttafel.
Zahlen sicher vergleichen. Auf Tausender und Zehntausender einordnen.
Auf Zehner, Hunderter, Tausender, Zehntausender runden. Für Überschlagsrechnung nutzen.
Stellenwerte bis zur Million. Zahlen in Summen zerlegen und zusammensetzen.
Milliarden und darüber. Zehnerpotenzen als Darstellungsmittel.
Millionen und Milliarden sicher benennen. Schreibweise mit Punkt-Trennung. Alltagsbezug (Einwohnerzahlen, Entfernungen).
Sehr große Zahlen auf dem Zahlenstrahl einordnen. Größenvorstellungen entwickeln.
Struktur und Teilbarkeit (z. B. Teiler, Vielfache, Primzahlen)
Teilbarkeit durch 2 erkennen. Muster im Zahlenstrahl. Grundlage für Teilbarkeitslehre.
Regeln für 2, 3, 4, 5, 9, 10 anwenden. Ohne Rechnen prüfen ob eine Zahl teilbar ist.
Alle Teiler systematisch finden. Gemeinsame Teiler zweier Zahlen ermitteln.
Vielfache aufzählen und erkennen. Gemeinsame Vielfache zweier Zahlen finden.
ggT durch Aufzählen und Primfaktorzerlegung. Anwendung beim Kürzen von Brüchen.
kgV durch Aufzählen und Primfaktorzerlegung. Anwendung beim Gleichnamigmachen.
Definition: nur durch 1 und sich selbst teilbar. Primzahlen bis 100 kennen. Sieb des Eratosthenes.
Jede natürliche Zahl als Produkt von Primzahlen. Darstellung als Baumdiagramm. Basis für ggT und kgV.
Gebräuchliche Verwendungen lesen und verstehen (Uhrenzifferblatt, Jahreszahlen)
Erweiterung der natürlichen Zahlen um negative Zahlen. Zahlenstrahl in beide Richtungen.
Bedeutung negativer Zahlen im Alltag (Temperatur, Höhen, Schulden). Zahlen mit Vorzeichen lesen und schreiben.
Zahlenstrahl in beide Richtungen. Positive und negative Zahlen einordnen. Null als Trennpunkt.
Kleiner-als und größer-als für negative Zahlen. –7 < –3 verstehen und begründen.
Abstand von der Null. |–5| = 5. Betrag als Größe ohne Vorzeichen. Anwendung bei Abstandsberechnungen.
Brüche und Dezimalzahlen als Erweiterung der ganzen Zahlen.
Grundvorstellungen aufbauen und Darstellungen verbinden.
Bruch als Teil eines Ganzen. Zähler und Nenner. Brüche an Figuren, Mengen und Zahlenstrahl darstellen.
Verschiedene Brüche für denselben Wert. Kürzen und Erweitern als Umformung ohne Wertänderung.
Brüche mit gleichem Nenner vergleichen. Auf gemeinsamen Nenner bringen. Am Zahlenstrahl einordnen.
Wechsel zwischen gemischten Zahlen und unechten Brüchen. Darstellung und Bedeutung.
Dezimaldarstellung als alternative Schreibweise rationaler Zahlen.
Zehntel und Hundertstel als Erweiterung des Stellenwertsystems. Komma als Trennzeichen.
Stellen nach dem Komma benennen. Dezimalzahlen in Worten und Ziffern.
Stellenweise vergleichen. Am Zahlenstrahl einordnen. Nachbarwerte bestimmen.
Auf eine, zwei Nachkommastellen runden. Für Sachaufgaben und Überschlag nutzen.
…als zwei Darstellungen derselben Zahl.
Division von Zähler durch Nenner. Abbrechende und periodische Dezimalzahlen unterscheiden.
Zehntel, Hundertstel als Bruch. Kürzen auf einfachste Form.
Erweiterung um irrationale Zahlen. Zahlen die nicht als Bruch darstellbar sind.
√2 als nicht abbrechende, nicht periodische Dezimalzahl. Unterschied zu rationalen Zahlen erkennen.
Quadratwurzeln auf dem Zahlenstrahl einordnen. Näherungswerte bestimmen. π als weiteres Beispiel.
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ als verschachtelte Mengen. Jede Zahl der richtigen Menge zuordnen können.
Die vier Grundoperationen und ihre Gesetzmäßigkeiten. Gelten übergreifend in allen Zahlbereichen – der Zahlenraum erweitert sich, die Operation bleibt dieselbe.
Zusammenzählen von Zahlen. Von einfachen Kernaufgaben bis zur schriftlichen Methode.
Was bedeutet Addition – konzeptuell verstehen bevor gerechnet wird.
Zwei Mengen vereinen. Handlungen (legen, zeichnen) mit Rechnung verbinden. Grundvorstellung aufbauen.
– 3 + 5 = 5 + 3. Verbindung zur Subtraktion. Rechenvorteile erkennen.
Mentale Rechenstrategien für verschiedene Zahlenräume.
Alle Additionsaufgaben bis 10 auswendig. Grundlage für alle weiteren Strategien.
Zehnerübergang. Strategien: Zerlegen, Verdoppeln, Kraft der 5.
Zehnerübergang überbrücken. Schrittweise, Vereinfachen, Ergänzen.
Hunderterübergang. Analogieaufgaben aus kleinen Zahlenräumen ableiten.
Ergebnis vor dem Rechnen schätzen. Runden und addieren. Ergebnis auf Plausibilität prüfen. Bedeutung der Überschlagsrechnung im Alltag.
Standardverfahren für große Zahlen.
Stellenweise addieren. Zahlen untereinander schreiben. Einheiten beachten.
Übertrag korrekt notieren und weiterrechnen. Mehrere Summanden addieren.
Wegnehmen, Ergänzen, Vergleichen. Umkehroperation der Addition.
Drei Grundvorstellungen der Subtraktion unterscheiden und situativ anwenden.
Von einer Menge wird etwas weggenommen. Handlung mit Rechnung verbinden.
Wie viel fehlt noch? Ergänzen zum Minuenden. Verbindung zur Addition.
Um wie viel ist A größer als B? Differenz als Abstand.
Mentale Rechenstrategien für verschiedene Zahlenräume.
Umkehraufgaben zum Einspluseins. Subtraktionsaufgaben sicher abrufen.
Zehnerübergang. Strategien: Ergänzen, Schrittweise, Vereinfachen.
Zwischenschritte nutzen. Ergänzen als effiziente Strategie.
Analogieaufgaben. Hunderterübergang strategisch lösen.
Differenz vor dem Rechnen abschätzen. Ergebnis auf Sinnhaftigkeit prüfen. Sinn der Überschlagsrechnung im Alltag verstehen.
Standardverfahren für große Zahlen.
Stellenweise subtrahieren. Größere minus kleinere Stelle.
Entbündeln wenn Stelle nicht ausreicht. Abziehverfahren sicher anwenden.
Wiederholtes Addieren. Vom Einmaleins bis zur schriftlichen Methode.
Multiplikation konzeptuell verstehen – als Rechteck, als Menge, als Vervielfachen.
4 · 3 = 3 + 3 + 3 + 3. Handlung mit Rechensatz verbinden.
Zeilen und Spalten. Fläche als Produkt. Tauschaufgaben geometrisch begründen.
Das kleine und große Einmaleins – Grundlage aller Multiplikationen.
Einfachste Malreihen als Einstieg. Verdoppeln und Verzehnfachen als Strategie.
Alle Malreihen 1–10 aufbauen. Tauschaufgaben nutzen (nur 55 statt 100 Aufgaben).
Alle Aufgaben sicher und schnell abrufen. Grundlage für alle weiteren Multiplikationen.
Aus Produkt und Faktor den anderen Faktor bestimmen. Grundlage für Division.
Multiplikation im Kopf für verschiedene Zahlenräume.
30 · 4, 200 · 6. Einmaleins mit Nullen kombinieren.
Zerlegen und Ausmultiplizieren. 23 · 4 = 20 · 4 + 3 · 4.
Produkt vor dem Rechnen abschätzen. Faktoren runden und multiplizieren.
Standardverfahren für große Zahlen.
Stellenweise multiplizieren mit Übertrag. Probe durch Vertauschen.
Teilprodukte bilden und addieren. Standardverfahren sicher anwenden.
Verfahren auf größere Faktoren erweitern. Strukturiert und fehlerfrei arbeiten.
Aufteilen und Verteilen. Umkehroperation der Multiplikation.
Zwei Grundvorstellungen Aufteilen und Verteilen – situativ anwenden.
In gleich große Gruppen aufteilen. Wie viele passen hinein?
Auf gleich viele Empfänger verteilen. Wie viel bekommt jeder?
Division im Kopf als Umkehrung des Einmaleins.
Aus Produkt und Faktor den Quotienten bestimmen. Einmaleins rückwärts nutzen.
Wenn nicht aufgeht: Rest bestimmen und benennen. Sachbezug herstellen.
300 : 6, 480 : 8. Einmaleins mit Zehnerpotenzen kombinieren.
Quotienten vor dem Rechnen abschätzen. Ergebnis auf Plausibilität prüfen. Bedeutung der Überschlagsrechnung im Alltag verstehen.
Standardverfahren für große Zahlen.
Schrittweise dividieren. Rest notieren und weiterführen. Probe durch Multiplikation.
Quotienten schätzen. Verfahren auf größere Divisoren erweitern.
Wenn Rest übrig bleibt: Komma setzen und weiterrechnen. Ergebnis runden.
Strukturelle Gesetzmäßigkeiten die für alle Zahlenmengen gelten. Grundlage für spätere Algebra.
a + b = b + a. Reihenfolge egal. Rechenvorteil erkennen und nutzen.
a · b = b · a. Tauschaufgaben. Weniger Aufgaben im Einmaleins lernen.
(a+b)+c = a+(b+c). Klammerung beliebig. Zahlen clever zusammenfassen.
(a·b)·c = a·(b·c). Faktoren günstig gruppieren.
a·(b+c) = a·b + a·c. Ausklammern und Ausmultiplizieren. Grundlage für Terme und Gleichungen.
Rechenreihenfolge bei gemischten Termen. Klammern setzen und auflösen.
Gesetze kombinieren um elegant zu rechnen. Rechenwege vergleichen und bewerten.
Die vier Operationen im Bereich der ganzen Zahlen.
Vorzeichen beim Addieren und Subtrahieren.
Zustandsänderungen am Zahlenstrahl. Regeln für gleiche und verschiedene Vorzeichen.
Subtraktion als Addition des Gegenteils. a – (–b) = a + b verstehen.
Vorzeichenregeln beim Multiplizieren und Dividieren.
Plus mal Plus = Plus. Minus mal Minus = Plus. Minus mal Plus = Minus. Begründung und Anwendung.
Analoge Regeln wie bei Multiplikation. Quotienten mit Vorzeichen bestimmen.
Die vier Operationen auf rationale Zahlen erweitern.
Brüche addieren und subtrahieren – Nenner angleichen als Schlüsselschritt.
Zähler addieren, Nenner bleibt. Ergebnis kürzen.
Gemeinsamen Nenner finden. Erweitern, dann rechnen.
Ganzzahligen und gebrochenen Anteil getrennt rechnen. Entbündeln wenn nötig.
Brüche multiplizieren und dividieren.
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Vor dem Rechnen kürzen. Sachbezug herstellen.
Mit dem Kehrwert multiplizieren. Begründung und Anwendung. Sachaufgaben lösen.
Spezialfall: 3 · ²⁄₅. Als wiederholte Addition verstehen.
Die vier Operationen mit Dezimalzahlen.
Kommas untereinander. Stellenweise rechnen. Lücken mit Nullen füllen.
Ohne Komma rechnen, dann Komma setzen. Anzahl Nachkommastellen bestimmen.
Divisor zu ganzer Zahl machen. Komma im Quotienten richtig setzen.
Kurzschreibweise für wiederholte Multiplikation.
Potenzen als kompakte Darstellung.
Basis und Exponent. 2⁴ = 2·2·2·2. Quadrat- und Kubikzahlen kennen.
10¹, 10², 10³… Verbindung zum Stellenwertsystem. Sehr große und kleine Zahlen darstellen.
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Anwenden und begründen.
aⁿ · bⁿ = (a·b)ⁿ. Anwenden und begründen.
(aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ. Anwenden und mit Beispielen belegen.
a⁻ⁿ = 1/aⁿ. a^(1/2) = √a. Zusammenhang mit Wurzeln.
Sehr große und kleine Zahlen als a · 10ⁿ. Umrechnen in Dezimaldarstellung. Taschenrechner lesen.
Wurzeln als Umkehrung des Potenzierens.
Umkehrung des Quadrierens. √9 = 3. Exakte und näherungsweise Werte.
Quadratwurzeln aus Produkten und Quotienten. √(a·b) = √a · √b.
Umkehrung des Kubizierens. ∛8 = 2. Höhere Wurzeln als Spezialfall.
Arithmetische Muster erkennen, beschreiben und fortsetzen (z. B. fortgesetzte Addition, gleich- und gegensinniges Verändern).
Arithmetische Muster erkennen, beschreiben und fortsetzen (z. B. fortgesetzte Addition, gleich- und gegensinniges Verändern).
Behandelt das Messen und Rechnen mit physikalischen und alltäglichen Größen wie Länge, Fläche, Volumen, Zeit, Geld und Masse, einschließlich Einheitensysteme, Umrechnungen und Anwendungen.
Umfasst Längeneinheiten (mm, cm, dm, m, km), praktisches Messen und Schätzen von Streckenlängen sowie die Arbeit mit Maßstäben.
Behandelt die wesentlichen Längeneinheiten des metrischen Systems sowie deren Umrechnung ineinander.
Einführung von körperbezogenen Maßeinheiten wie Spanne, Fuß und Schritt als intuitive Ersterfahrung von Länge; Erkenntnis der Notwendigkeit standardisierter, einheitlicher Maße.
Kenntnis der metrischen Längeneinheiten mm, cm, dm, m und km einschließlich ihrer Benennung und ihres Alltagsbezugs (z. B. Lineal, Körpergröße, Schulweg).
Sicheres Umrechnen zwischen Längeneinheiten mithilfe der Umrechnungsfaktoren 10, 100 und 1000, in beide Richtungen (von größeren in kleinere Einheiten und umgekehrt).
Umfasst das praktische Messen von Längen mit geeigneten Werkzeugen sowie das Entwickeln von Schätz- und Größenvorstellungen.
Korrektes Anlegen und Ablesen eines Lineals zur Längenmessung; Angabe der Einheit sowie Reflexion über Messgenauigkeit und mögliche Messfehler.
Entwicklung von Größenvorstellungen für mm, cm, m und km; Schätzen von Längen und anschließender Vergleich der Schätzung mit dem Messergebnis.
Behandelt das Verstehen und Anwenden von Maßstäben zur Darstellung vergrößerter oder verkleinerter Abbildungen der Realität.
Verständnis des Maßstabs als Verhältnis zwischen Darstellungsgröße und Wirklichkeitsgröße; Lesen und Erklären von Maßstabsangaben wie 1:100.
Anwendung von Maßstäben zur Berechnung realer Streckenlängen aus Karten oder Plänen und umgekehrt; Durchführung entsprechender Umrechnungen.
Umfasst Flächeneinheiten des metrischen Systems sowie die Berechnung von Flächeninhalten ebener geometrischer Figuren mithilfe von Formeln.
Behandelt die Einheiten zur Messung von Flächen sowie deren Umrechnung ineinander unter Berücksichtigung der quadratischen Natur der Einheiten.
Kenntnis der Flächeneinheiten mm², cm², dm², m², km², Ar und Hektar sowie Herstellung eines Alltagsbezugs (z. B. Schreibtisch, Fußballfeld, Bundesland).
Umrechnung zwischen Flächeneinheiten mit den Faktoren 100 und 10.000; Verständnis der Besonderheit quadratischer Einheiten im Vergleich zu Längeneinheiten.
Behandelt die Herleitung und Anwendung von Flächeninhaltsformeln für verschiedene ebene geometrische Figuren.
Bestimmung von Flächeninhalten durch Auslegen mit Einheitsquadraten und Auszählen; Aufbau eines grundlegenden Verständnisses des Flächenbegriffs.
Berechnung des Flächeninhalts von Rechteck und Quadrat mit A = a · b; Herleitung der Formel aus dem Auslegevorgang und korrekte Angabe der Flächeneinheit.
Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms mit A = g · h; Verständnis der Höhe als senkrechten Abstand und Herleitung durch Umformen zum Rechteck.
Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks mit A = g · h / 2; Herleitung aus dem Parallelogramm und Bestimmung der Höhe für verschiedene Dreieckstypen.
Berechnung des Flächeninhalts eines Trapezes mit A = (a + c) / 2 · h; Identifikation der parallelen Seiten und Herleitung der Formel.
Berechnung des Kreisflächeninhalts mit A = π · r²; Herleitung durch Zerlegung und Verständnis von π als Verhältnis von Umfang zu Durchmesser.
Berechnung von Flächeninhalten zusammengesetzter Figuren durch Zerlegung in bekannte Teilfiguren und Addition bzw. Subtraktion der Teilflächen.
Umfasst Volumeneinheiten des metrischen Systems sowie die Berechnung von Rauminhalten geometrischer Körper mithilfe von Formeln.
Behandelt die Einheiten zur Messung von Rauminhalten sowie deren Umrechnung, einschließlich der Verbindung zu Hohlmaßen wie Liter.
Kenntnis der Volumeneinheiten mm³, cm³, dm³ und m³ sowie deren Verbindung zu Liter und Milliliter mit Alltagsbezug (z. B. Wasserglas, Badewanne).
Umrechnung zwischen Volumeneinheiten mit dem Faktor 1000; Kenntnis der zentralen Beziehung 1 dm³ = 1 Liter als praxisrelevante Verbindung.
Behandelt die Herleitung und Anwendung von Volumenformeln für verschiedene geometrische Körper.
Bestimmung von Rauminhalten durch Schichten und Zählen von Einheitswürfeln; Aufbau eines grundlegenden Verständnisses des Volumenbegriffs.
Berechnung des Volumens von Würfel (V = a³) und Quader (V = l · b · h); Herleitung der Formeln aus dem Schichten von Einheitswürfeln.
Berechnung des Volumens eines Prismas mit V = Grundfläche · Höhe; Anwendung auf Prismen mit verschiedenen Grundflächenformen.
Berechnung des Zylindervolumens mit V = π · r² · h; Verständnis der Kreisfläche als Grundfläche und Alltagsbezug (z. B. Dose, Rohr).
Berechnung des Pyramidenvolumens mit V = ⅓ · Grundfläche · Höhe; Vergleich mit dem Prisma und Begründung des Faktors ⅓.
Berechnung des Kegelvolumens mit V = ⅓ · π · r² · h; Vergleich mit dem Zylinder und Alltagsbezug (z. B. Eiswaffel).
Kenntnis und Anwendung der Formel für das Kugelvolumen V = 4/3 · π · r³.
Behandelt Zeit, Geld und Masse als weitere alltagsrelevante Messgrößen einschließlich ihrer Einheiten, Umrechnungen und praktischen Anwendungen.
Umfasst Zeiteinheiten, das Lesen und Darstellen von Uhrzeiten sowie das Rechnen mit Zeitangaben und Zeitspannen.
Kenntnis der Zeiteinheiten Sekunde, Minute, Stunde, Tag, Woche, Monat und Jahr sowie Aufbau von Größenvorstellungen durch Alltagsbezüge.
Umrechnung zwischen Zeiteinheiten mit den unregelmäßigen Faktoren 60, 24, 7 und 365; Bewusstsein für die Besonderheit gegenüber dem dekadischen Einheitensystem.
Lesen und Darstellen von Uhrzeiten an analogen und digitalen Uhren im 12h- und 24h-Format; Erfassen von Viertelstunden und Minutenangaben.
Berechnung von Zeitspannen aus gegebenem Anfangs- und Endzeitpunkt; Umgang mit Übergängen über Stunden- und Tagesgrenzen hinweg.
Rechnen mit Kalenderangaben durch Zählen von Tagen, Wochen und Monaten; Kenntnis von Schaltjahren und Zeitabschnitten im Jahreskreis.
Behandelt das Kennen und Darstellen von Geldbeträgen sowie das Rechnen mit Preisen im Alltag.
Kenntnis von Münzen und Scheinen des Eurosystems; Darstellung und Notation von Geldbeträgen in Euro und Cent.
Addition von Preisen und Berechnung von Wechselgeld; Anwendung von Überschlagsrechnungen zur Plausibilitätsprüfung.
Behandelt die Messung und Darstellung von Massen sowie das Rechnen mit Massenangaben und deren Einheiten.
Kenntnis der Masseeinheiten mg, g, kg und t sowie Aufbau von Größenvorstellungen durch Alltagsbezüge (z. B. Briefmarke, Apfel, Mensch, Auto).
Umrechnung zwischen Masseeinheiten mit dem Faktor 1000; sicheres Umrechnen in beide Richtungen zwischen großen und kleinen Einheiten.
Messen von Massen mit analogen und digitalen Waagen; Reflexion über Messgenauigkeit und mögliche Messfehler.
Teilgebiet der Mathematik, das sich mit geometrischen Grundbegriffen, ebenen Figuren, räumlichen Körpern, Koordinatengeometrie, Trigonometrie sowie Symmetrie und Transformationen befasst.
Einführung in die elementaren Bausteine der Geometrie: Punkte, Geraden, Strecken, Strahlen und Winkel sowie deren Lagebeziehungen und Messung.
Grundelemente der Geometrie (Punkt, Gerade, Strecke, Strahl) werden definiert, mit Buchstaben bezeichnet sowie hinsichtlich ihrer Gemeinsamkeiten und Unterschiede (z. B. Endlichkeit, Richtung) unterschieden.
Parallele und senkrechte Geraden werden definiert, anhand von Alltagsbeispielen erkannt und mithilfe des Geodreiecks präzise gezeichnet.
Der Winkelbegriff wird eingeführt: Scheitel und Schenkel als konstituierende Elemente sowie die Klassifikation in spitze, rechte, stumpfe, gestreckte, überstumpfe Winkel und Vollwinkel.
Winkel werden mit dem Winkelmesser gemessen, indem dieser korrekt angelegt und der Winkelwert unter Beachtung der Messgenauigkeit abgelesen wird.
Vorgegebene Winkelgrößen werden mithilfe von Geodreieck und Winkelmesser präzise konstruiert und gezeichnet.
Winkelbeziehungen wie Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Stufen- und Wechselwinkel werden definiert, erkannt und zur Berechnung sowie Begründung unbekannter Winkelgrößen genutzt.
Räumliche Lagebegriffe (links/rechts, oben/unten, vor/hinter, zwischen, neben) werden zur präzisen Beschreibung der Position von Gegenständen im Raum verwendet.
Wege in der Umgebung werden nachvollziehbar beschrieben und verfolgt; verschiedene Perspektiven (Ansichten von oben, vorne, links) werden eingenommen und sprachlich beschrieben.
Behandelt ebene geometrische Figuren (Dreiecke, Vierecke, Kreise) hinsichtlich ihrer Eigenschaften, Klassifikation, Konstruktion sowie Berechnung von Umfang und Flächeninhalt.
Dreiecke werden nach Seiten- und Winkeleigenschaften klassifiziert, mit verschiedenen Konstruktionssätzen gezeichnet und ihre Maße berechnet.
Das rechtwinklige Dreieck wird mit seinen charakteristischen Eigenschaften beschrieben: ein 90°-Winkel, Hypotenuse als längste Seite, Beziehung zum Satz des Pythagoras.
Das gleichseitige Dreieck wird durch seine Eigenschaften charakterisiert: alle drei Seiten gleich lang, alle Innenwinkel betragen 60°, dreifache Achsensymmetrie.
Das gleichschenklige Dreieck wird durch seine Eigenschaften beschrieben: zwei gleich lange Schenkel, zwei gleiche Basiswinkel, eine Symmetrieachse.
Dreiecke werden anhand ihrer größten Innenwinkel als spitz-, recht- oder stumpfwinklig klassifiziert und entsprechende Figuren erkannt und eingeordnet.
Die Winkelsumme im Dreieck beträgt stets 180°; dies wird durch Umordnung begründet und zur Berechnung fehlender Winkelgrößen angewendet.
Ein Dreieck wird aus drei gegebenen Seitenlängen (SSS) mithilfe von Zirkel und Lineal konstruiert; Eindeutigkeit und Existenz werden thematisiert.
Dreiecke werden aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (SWS) bzw. aus zwei Winkeln und der eingeschlossenen Seite (WSW) konstruiert.
Besondere Linien im Dreieck (Höhe, Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Seitenhalbierende) werden konstruiert und ihre Schnittpunkte als Umkreis- bzw. Inkreismittelpunkt identifiziert.
Dreiecke werden als ebene Figuren erkannt, benannt und durch ihre Ecken und Seiten beschrieben sowie von anderen Flächenformen abgegrenzt.
Die verschiedenen Vierecktypen (Quadrat, Rechteck, Parallelogramm, Raute, Trapez, Drachenviereck) werden nach ihren Eigenschaften unterschieden und ihre Maße berechnet.
Das Quadrat wird durch seine Eigenschaften charakterisiert: vier gleich lange Seiten, vier rechte Winkel, vierfache Achsen- und Punktsymmetrie.
Das Rechteck wird durch seine Eigenschaften beschrieben: gegenüberliegende Seiten gleich lang und parallel, vier rechte Winkel, zweifache Achsensymmetrie.
Das Parallelogramm wird durch seine Eigenschaften definiert: zwei Paare paralleler und gleich langer Seiten, gegenüberliegende Winkel gleich, Punktsymmetrie.
Die Raute wird durch ihre Eigenschaften beschrieben: alle vier Seiten gleich lang, gegenüberliegende Winkel gleich, Diagonalen stehen senkrecht aufeinander und halbieren die Winkel.
Das Trapez wird durch genau ein Paar paralleler Seiten (Grundlinien) charakterisiert; gleichschenkliges Trapez als Sonderfall wird unterschieden.
Das Drachenviereck wird durch seine Eigenschaften beschrieben: zwei Paare benachbarter gleich langer Seiten, eine Diagonale als Symmetrieachse, senkrechte Diagonalen.
Die Winkelsumme im Viereck beträgt 360°; dies wird durch Zerlegung in zwei Dreiecke begründet und zur Berechnung unbekannter Winkel genutzt.
Der Umfang verschiedener Vierecktypen wird mithilfe typspezifischer Formeln berechnet und in Sachaufgaben angewendet.
Der Kreis wird als geometrische Figur mit seinen charakteristischen Eigenschaften und Maßen (Umfang, Fläche, Kreisausschnitt) untersucht und berechnet.
Grundbegriffe des Kreises (Mittelpunkt, Radius, Durchmesser, Kreislinie, Kreisscheibe) werden eingeführt und Kreise werden präzise mit dem Zirkel gezeichnet.
Der Kreisumfang wird mit der Formel U = 2·π·r = π·d berechnet; π wird als Verhältnis von Umfang zu Durchmesser verstanden und in Sachaufgaben angewendet.
Bogenlänge und Flächeninhalt eines Kreisausschnitts werden mithilfe des Mittelpunktwinkels als Anteil am Gesamtkreis berechnet.
Der Flächeninhalt eines Kreisrings wird als Differenz zweier Kreisflächen mit Innen- und Außenradius berechnet und in Sachaufgaben angewendet.
Ebene Figuren werden auf Kongruenz und Ähnlichkeit untersucht: Kongruenzsätze, Ähnlichkeitsfaktor und der Strahlensatz als zentrale Werkzeuge.
Kongruente Figuren sind deckungsgleich; die Kongruenzsätze (SSS, SWS, WSW, SSW) werden als Kriterien zur Prüfung und Begründung der Kongruenz verwendet.
Ähnliche Figuren haben gleiche Form bei unterschiedlicher Größe; entsprechende Seiten stehen im konstanten Ähnlichkeitsfaktor zueinander, während Winkel übereinstimmen.
Der Strahlensatz beschreibt die Verhältnisse paralleler Strecken an Geradenbüscheln; erster und zweiter Strahlensatz werden formuliert und zur Berechnung von Streckenlängen angewendet.
Handlungen wie Falten, Zerlegen, Drehen und Zusammenfügen werden an ebenen Figuren praktisch durchgeführt und deren Ergebnisse in der Vorstellung beschrieben.
Der Umfang ebener Figuren wird durch Nachlegen von Fäden oder Nachzeichnen am Gitternetz verglichen, ohne Formeln zu verwenden.
Behandelt geometrische Körper (Würfel, Quader, Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel, Kugel) hinsichtlich ihrer Eigenschaften, Netze, Darstellungen sowie Berechnung von Oberfläche und Volumen.
Grundlegende geometrische Körper werden nach Flächen, Kanten und Ecken beschrieben sowie ihre Oberflächen mithilfe von Netzen berechnet.
Der Würfel wird durch seine Eigenschaften charakterisiert: sechs kongruente Quadrate als Flächen, zwölf gleich lange Kanten, acht Ecken; Oberfläche und Volumen werden berechnet.
Der Quader wird durch seine Eigenschaften beschrieben: sechs Rechteckflächen in drei Paaren, zwölf Kanten, acht Ecken; Oberfläche und Volumen werden berechnet.
Das Prisma wird durch eine kongruente Grund- und Deckfläche sowie rechteckige Seitenflächen charakterisiert; Oberfläche und Volumen werden über die Grundfläche berechnet.
Der Zylinder wird durch kreisförmige Grund- und Deckfläche sowie eine gekrümmte Mantelfläche beschrieben; Oberfläche und Volumen werden mit den Formeln M = 2πrh, V = πr²h berechnet.
Die Pyramide wird durch eine vieleckige Grundfläche und dreieckige Seitenflächen, die in einem Scheitelpunkt zusammenlaufen, charakterisiert; Oberfläche und Volumen (V = ⅓·G·h) werden berechnet.
Der Kegel wird durch eine kreisförmige Grundfläche und eine gekrümmte Mantelfläche mit Scheitelpunkt beschrieben; Mantelfläche, Oberfläche und Volumen (V = ⅓·π·r²·h) werden berechnet.
Die Kugel wird durch den konstanten Abstand aller Oberflächenpunkte vom Mittelpunkt (Radius) definiert; Oberfläche (O = 4πr²) und Volumen (V = 4/3·π·r³) werden berechnet.
Körper werden in ihre Netze aufgefaltet; Netze werden gezeichnet, einem Körper zugeordnet und zum Falten von Körpern verwendet.
Geometrische Körper werden im Schrägbild dargestellt und ihre Ansichten (Draufsicht, Vorderansicht, Seitenansicht) gezeichnet und interpretiert.
Behandelt das kartesische Koordinatensystem und analytische Methoden zur Beschreibung von Punkten, Strecken und Geraden in der Ebene.
Das kartesische Koordinatensystem mit x- und y-Achse sowie vier Quadranten wird eingeführt; Koordinaten von Punkten werden abgelesen und eingezeichnet.
Der Abstand zweier Punkte in der Koordinatenebene wird mithilfe des Satzes des Pythagoras hergeleitet und berechnet: d = √((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²).
Der Mittelpunkt einer Strecke wird über die Mittelpunktsformel M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) bestimmt und begründet.
Die Steigung einer Geraden wird als m = Δy/Δx aus zwei Punkten berechnet und als positiv, negativ, null oder nicht definiert interpretiert.
Die Geradengleichung y = mx + b wird aus zwei gegebenen Punkten bestimmt, und Graph sowie Gleichung werden wechselseitig interpretiert.
Behandelt den Satz des Pythagoras und die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens zur Berechnung von Seiten und Winkeln in rechtwinkligen und allgemeinen Dreiecken.
Der Satz des Pythagoras wird als fundamentales Werkzeug zur Berechnung von Seiten in rechtwinkligen Dreiecken eingeführt und angewendet.
Der Satz des Pythagoras (a² + b² = c²) wird eingeführt: Hypotenuse und Katheten werden identifiziert, und der Satz wird durch Flächenvergleich bewiesen.
Der Satz des Pythagoras wird zur Berechnung unbekannter Seiten in rechtwinkligen Dreiecken angewendet, u. a. in Sachaufgaben zu Leitern, Diagonalen und Höhen.
Die Umkehrung des Satzes des Pythagoras wird genutzt, um zu prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist; pythagoräische Tripel wie (3, 4, 5) werden als Beispiele verwendet.
Die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens werden zur Berechnung unbekannter Seiten und Winkel in rechtwinkligen Dreiecken eingeführt und systematisch angewendet.
Der Sinus wird als Verhältnis sin α = Gegenkathete/Hypotenuse definiert und am Einheitskreis veranschaulicht.
Der Kosinus wird als Verhältnis cos α = Ankathete/Hypotenuse definiert und sein Zusammenhang mit dem Sinus (sin²α + cos²α = 1) hergestellt.
Der Tangens wird als Verhältnis tan α = Gegenkathete/Ankathete = sin α/cos α definiert und seine Bedeutung als Steigungsmaß herausgearbeitet.
Unbekannte Seiten in rechtwinkligen Dreiecken werden durch Umformen der sin/cos/tan-Formeln berechnet, wobei der Taschenrechner zur Auswertung eingesetzt wird.
Unbekannte Winkel in rechtwinkligen Dreiecken werden mithilfe der Umkehrfunktionen arcsin, arccos und arctan aus gegebenen Seitenverhältnissen bestimmt.
Beliebige (nicht notwendig rechtwinklige) Dreiecke werden mithilfe von Sinussatz und Kosinussatz vollständig gelöst, d. h. alle Seiten und Winkel berechnet.
Der Sinussatz (a/sin α = b/sin β = c/sin γ) wird formuliert, seine Anwendungsbedingungen (WSW, SSW) erklärt und zur Berechnung von Seiten und Winkeln genutzt.
Der Kosinussatz (a² = b² + c² − 2bc·cos α) wird als Verallgemeinerung des Pythagoras eingeführt und für die Fälle SSS und SWS zur Dreiecksberechnung angewendet.
Behandelt Symmetrieeigenschaften ebener Figuren sowie geometrische Transformationen (Translation, Spiegelung, Drehung, Streckung) und deren Verkettung.
Achsen- und Punktsymmetrie ebener Figuren werden erkannt, Symmetrieachsen und Symmetriezentren bestimmt sowie Symmetrieeigenschaften konstruktiv nachgewiesen.
Figuren werden auf Achsensymmetrie geprüft, Spiegelachsen eingezeichnet und der Alltagsbezug (z. B. Schmetterlingsflügel, Buchstaben) hergestellt.
Das Spiegelbild einer Figur wird an einer Achse konstruiert, wobei die Spiegelachse als Mittelsenkrechte jeder Verbindungsstrecke Punkt–Bildpunkt erkannt wird.
Figuren werden auf Punktsymmetrie geprüft, das Symmetriezentrum bestimmt und der Unterschied zur Achsensymmetrie herausgearbeitet.
Das punktsymmetrische Bild einer Figur wird am Symmetriezentrum konstruiert und die Bildkoordinaten berechnet (x' = 2x₀ − x, y' = 2y₀ − y).
Geometrische Abbildungen (Translation, Spiegelung, Drehung, Streckung) werden als formale Transformationen der Ebene eingeführt und auf Figuren angewendet.
Bei der Translation wird eine Figur um einen Verschiebungsvektor verschoben; Koordinaten werden berechnet und die Eigenschaften Form- und Längentreue werden festgestellt.
Bei der Spiegelung wird eine Figur an einer Achse gespiegelt; das Bild wird konstruiert und die Eigenschaften Form- und Längentreue sowie Orientierungsumkehr werden beschrieben.
Bei der Drehung wird eine Figur um einen Mittelpunkt mit gegebenem Drehwinkel und Drehrichtung abgebildet; Form- und Längentreue werden als Eigenschaften festgestellt.
Bei der Streckung wird eine Figur von einem Streckzentrum aus mit einem Streckfaktor k abgebildet; ähnliche Figuren entstehen, und der Zusammenhang zum Ähnlichkeitsbegriff wird hergestellt.
Mehrere geometrische Transformationen werden nacheinander ausgeführt (verkettet); das Gesamtergebnis wird bestimmt und in seiner Wirkung beschrieben.
Geometrische Muster aus Flächen- und Körperformen werden erstellt, ihre Gesetzmäßigkeiten erkannt und die Muster regelgeleitet fortgesetzt.
Umfasst das Arbeiten mit Termen, Gleichungen und Gleichungssystemen sowie die Untersuchung verschiedener Funktionsklassen von linearen bis hin zu transzendenten Funktionen.
Behandelt das Aufstellen, Umformen und Vereinfachen von Termen sowie das Lösen linearer Gleichungen und Ungleichungen.
Umfasst das Aufstellen und systematische Umformen algebraischer Ausdrücke mit Variablen, einschließlich Klammern und Bruchtermen.
Einführung des Variablenbegriffs als Platzhalter für Zahlen; Terme lesen, schreiben und durch Einsetzen von Werten berechnen.
Zusammenfassen gleichartiger Summanden (gleiche Variable, gleicher Exponent) zur Vereinfachung von Termen; Berechnung durch Einsetzen konkreter Werte.
Anwendung des Distributivgesetzes zum Auflösen einfacher und verschachtelter Klammern; systematisches Ausmultiplizieren von Summen und Differenzen.
Erkennen und Ausklammern eines gemeinsamen Faktors aus mehreren Summanden als Umkehroperation des Ausmultiplizierens.
Herleitung, Erkennung und Anwendung der drei binomischen Formeln (a±b)² und (a+b)(a–b) zur effizienten Termumformung.
Kürzen von Bruchtermen durch Erkennen gemeinsamer Faktoren in Zähler und Nenner unter Berücksichtigung der Definitionsmenge.
Addition und Subtraktion von Bruchtermen durch Bestimmen eines gemeinsamen Nenners, Umformen und anschließendes Kürzen des Ergebnisses.
Multiplikation und Division von Bruchtermen durch Zähler-Nenner-Verknüpfung sowie Vereinfachung des Ergebnisses durch Kürzen.
Behandelt das Lösen linearer Gleichungen und Ungleichungen sowie deren Anwendung in Sachsituationen mithilfe von Äquivalenzumformungen.
Grundprinzip des Gleichungslösens mittels Waage-Modell: Äquivalenzumformungen, die auf beiden Seiten der Gleichung identisch angewendet werden.
Lösen linearer Gleichungen durch Zusammenfassen von Termen und schrittweise Äquivalenzumformungen; Bestimmung und Angabe der Lösungsmenge mit Probe.
Lösen von Gleichungen mit Bruchtermen durch Multiplikation mit dem Hauptnenner zur Nennerelimination sowie Prüfung der Definitionsmenge.
Lösen linearer Ungleichungen analog zu Gleichungen mit besonderer Beachtung der Umkehrung des Ungleichungszeichens bei Multiplikation mit negativen Zahlen; Darstellung der Lösungsmenge als Intervall.
Übersetzung von Sachsituationen in lineare Gleichungen, deren Lösung sowie Überprüfung der Lösungen auf sachliche Sinnhaftigkeit.
Behandelt proportionale und antiproportionale Zuordnungen sowie lineare Funktionen als geradlinige Zusammenhänge in Tabelle, Graph und Term.
Behandelt direkte und indirekte Proportionalität als spezielle lineare bzw. hyperbolische Zuordnungen und deren Darstellung in Tabelle, Graph und Term.
Propädeutische Einführung in funktionale Beziehungen durch Beobachtung einfacher Abhängigkeiten wie Verdopplung oder Halbierung von Größen, dargestellt in Tabellen.
Erkennen proportionaler Zuordnungen anhand von Verdopplungs- und Verdreifachungseigenschaft; Darstellung als Tabelle, Graph (Ursprungsgerade) und Term y = k·x.
Berechnung des Proportionalitätsfaktors k aus Wertepaaren einer Tabelle oder aus gegebenen Punkten sowie Interpretation von k im Sachkontext.
Anwendung des Dreisatzes bei proportionalen Zuordnungen durch systematisches Berechnen des Einheitswerts und anschließendes Hochrechnen.
Erkennen antiproportionaler Zuordnungen anhand des umgekehrten Zusammenhangs; Darstellung als Tabelle, Graph (Hyperbel) und Term y = k/x.
Anwendung des umgekehrten Dreisatzes bei antiproportionalen Zuordnungen durch angepasste Berechnung des Einheitswerts.
Berechnung zusammengesetzter Dreisätze mit zwei gleichzeitig veränderlichen Größen durch systematisches Vorgehen über den Einheitswert.
Behandelt lineare Funktionen als Geradenfunktionen, deren Term, Graph, Steigung und Anwendung in Sachkontexten.
Einführung des Funktionsbegriffs als eindeutige Zuordnung (jedem x genau ein y); Darstellungsformen (Tabelle, Graph, Term), Definitions- und Wertemenge.
Darstellung linearer Funktionen der Form y = mx + b als Gerade im Koordinatensystem; wechselseitiges Ablesen von Term und Graph.
Interpretation von Steigung m und y-Achsenabschnitt b einer linearen Funktion; Ablesen aus dem Graphen und rechnerische Bestimmung.
Aufstellen der Geradengleichung aus zwei gegebenen Punkten oder aus einem Punkt und der Steigung durch systematisches Vorgehen.
Berechnung der Schnittpunkte linearer Funktionen mit den Koordinatenachsen sowie des Schnittpunkts zweier Geraden durch Gleichsetzen ihrer Terme.
Modellierung linearer Zusammenhänge in Sachsituationen, Erstellen von Wertetabellen und Interpretation von Steigung und Achsenabschnitt im Kontext.
Behandelt quadratische Funktionen (Parabel) und Gleichungen sowie deren Lösungsverfahren: Ausklammern, quadratische Ergänzung und pq-Formel.
Behandelt die Parabel als Graph der quadratischen Funktion, ihre Eigenschaften und Transformationen (Verschiebung, Streckung, Scheitelpunktform).
Eigenschaften der Normalparabel y = x²: Scheitelpunkt im Ursprung, Symmetrieachse, Öffnung nach oben; Darstellung durch Wertetabelle und Graph.
Horizontale und vertikale Verschiebung der Parabel durch die Scheitelpunktform y = (x–d)² + e; Ablesen des Scheitelpunkts (d, e).
Wirkung des Streckfaktors a in y = a·x² auf Öffnungsweite und Richtung der Parabel; Vergleich von Parabeln unterschiedlicher Streckung.
Umformen der allgemeinen Form y = ax²+bx+c in die Scheitelpunktform durch quadratische Ergänzung; direktes Ablesen des Scheitelpunkts.
Bestimmung der Nullstellen quadratischer Funktionen als Schnittpunkte mit der x-Achse durch Gleichsetzen mit null; Verbindung zur quadratischen Gleichung.
Behandelt verschiedene Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen: Ausklammern, quadratische Ergänzung und pq-Formel.
Lösen quadratischer Gleichungen durch Ausklammern von x und Anwendung des Nullproduktprinzips; Bestimmung von bis zu zwei Lösungen.
Überführung quadratischer Gleichungen in Scheitelpunktform durch quadratische Ergänzung als allgemeines algebraisches Verfahren.
Anwendung der pq-Formel x = –p/2 ± √((p/2)²–q) zur Lösung normierter quadratischer Gleichungen; Interpretation der Diskriminante bezüglich der Lösungsanzahl.
Übersetzung von Sachsituationen in quadratische Gleichungen, Lösung mit geeignetem Verfahren und sachliche Überprüfung beider Lösungen.
Behandelt Potenz-, Wurzel-, Exponential-, Logarithmus-, trigonometrische und ganzrationale Funktionen mit ihren Eigenschaften und Graphen.
Behandelt Potenzfunktionen verschiedener Exponenten und die Wurzelfunktion als deren Umkehrung.
Untersuchung von Potenzfunktionen y = xⁿ für verschiedene natürliche Exponenten; Unterschied zwischen geradem und ungeradem n im Graphenverlauf.
Einführung der Wurzelfunktion y = √x als Umkehrfunktion von y = x²; Definitionsmenge, Graph und charakteristische Eigenschaften.
Behandelt Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen als Umkehrfunktionen sowie ihre Anwendung zur Modellierung von Wachstums- und Zerfallsprozessen.
Einführung der Exponentialfunktion y = aˣ; Unterscheidung von Wachstum (a > 1) und Zerfall (0 < a < 1); Graph und wesentliche Eigenschaften.
Modellierung und Berechnung realer exponentieller Wachstums- und Zerfallsprozesse (z. B. Zinseszins, Bevölkerungswachstum, Radioaktivität) mithilfe der Exponentialfunktion.
Einführung des Logarithmus log_b(x) als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion bˣ; Herleitung und Anwendung der Logarithmengesetze.
Einführung der Eulerschen Zahl e, der natürlichen Exponentialfunktion y = eˣ und des natürlichen Logarithmus y = ln(x) sowie ihrer charakteristischen Eigenschaften.
Behandelt Sinus- und Kosinusfunktion als periodische Funktionen, ihre Graphen und Transformationen.
Einführung der Sinusfunktion y = sin(x); Eigenschaften wie Amplitude, Periode und Nullstellen; Skizzieren des Graphen.
Eigenschaften der Kosinusfunktion y = cos(x) und ihre Beziehung zur Sinusfunktion (Phasenverschiebung um π/2); Vergleich beider Graphen.
Transformation der Sinusfunktion y = a·sin(b·x+c)+d; Wirkung der Parameter auf Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikalen Versatz.
Behandelt ganzrationale Funktionen (Polynome) höheren Grades hinsichtlich Grad, Nullstellen, Kurvendiskussion und gebrochen-rationaler Erweiterung.
Eigenschaften ganzrationaler Funktionen: Grad, Koeffizienten, Leitkoeffizient und Verhalten für betragsmäßig große x-Werte.
Bestimmung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen durch Ausklammern, Polynomdivision und das Horner-Schema.
Systematische Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen: Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte sowie Verhalten im Unendlichen.
Analyse gebrochen-rationaler Funktionen der Form y = a/(x+b)+c; Definitionsmenge, Asymptoten, Verschiebung und Grapheneigenschaften.
Behandelt das Lösen linearer Gleichungssysteme mit zwei und drei Unbekannten grafisch und algebraisch (Einsetzungs-, Gleichsetzungs-, Additionsverfahren).
Grafische Lösung linearer Gleichungssysteme durch Zeichnen zweier Geraden; Schnittpunkt als Lösung; Behandlung der Sonderfälle Parallelität und Identität.
Lösung linearer Gleichungssysteme durch das Einsetzungsverfahren: eine Variable durch die andere ausdrücken und in die zweite Gleichung einsetzen.
Lösung linearer Gleichungssysteme durch das Gleichsetzungsverfahren: gleichartig aufgelöste Ausdrücke beider Gleichungen einander gleichsetzen.
Lösung linearer Gleichungssysteme durch das Additionsverfahren: Gleichungen (ggf. nach Multiplikation mit geeigneten Vielfachen) addieren, um eine Variable zu eliminieren.
Lösung linearer Gleichungssysteme mit drei Unbekannten durch schrittweise Reduktion auf zwei Unbekannte mittels des Gaußschen Eliminationsverfahrens.
Modellierung von Sachsituationen mit mehreren Unbekannten als lineares Gleichungssystem, Lösung mit geeignetem Verfahren und Interpretation im Sachkontext.
Statistik und Wahrscheinlichkeit. Von einfachen Diagrammen bis zur Kombinatorik. Alltagsbezug sehr hoch.
Tabellen, Balken-, Säulen-, Kreis- und Liniendiagramme. Daten lesen, darstellen und interpretieren.
Grundlagen der Datenerfassung.
Befragung, Beobachtung, Experiment. Strichliste und Urliste. Absolute und relative Häufigkeit.
Daten strukturiert erfassen. Absolute und relative Häufigkeit berechnen. Gesamtanzahl prüfen.
Daten geeignet grafisch darstellen.
Erstellen und lesen. Achsenbeschriftung und Maßstab wählen. Vergleiche darstellen.
Anteile als Sektoren. Winkel aus Häufigkeiten berechnen. Zeichnen und interpretieren.
Entwicklungen über Zeit darstellen. Punkte verbinden. Trend ablesen.
Klassenbreite bestimmen. Unterschied zum Säulendiagramm. Stetige Merkmale darstellen.
Irreführende Darstellungen erkennen. Fehlende Nullpunkte, verzerrte Achsen.
Mittelwert, Median, Modalwert, Spannweite, Quartile. Statistische Auswertung von Datensätzen.
Den typischen Wert eines Datensatzes bestimmen.
Summe durch Anzahl. Berechnen und interpretieren. Empfindlichkeit gegenüber Ausreißern.
Zentralwert nach Sortierung. Gerade und ungerade Anzahl. Robustheit gegenüber Ausreißern.
Häufigster Wert. Wann sinnvoll? Vergleich der drei Lagemaße.
Die Streuung eines Datensatzes beschreiben.
Maximum minus Minimum. Einfachstes Streuungsmaß. Empfindlichkeit gegenüber Ausreißern.
Unteres und oberes Quartil. Mittlere 50% der Daten. Robustes Streuungsmaß.
Fünf-Punkte-Zusammenfassung grafisch. Datensätze visuell vergleichen.
Mittlere Abweichung vom Mittelwert. Formel verstehen und berechnen.
Laplace-Wahrscheinlichkeit, Baumdiagramme, Pfadregeln, bedingte Wahrscheinlichkeit.
Die Sprache der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Ergebnis, Ereignis, Ergebnismenge. Sicheres und unmögliches Ereignis.
Relative Häufigkeit als Näherung. Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1.
P(A) = günstige / mögliche Ergebnisse. Gleichwahrscheinlichkeit als Voraussetzung.
P(Ā) = 1 – P(A). Gegenereignis bestimmen. Rechenvorteil nutzen.
Zufallsexperimente mit mehreren Schritten darstellen und berechnen.
Mehrstufige Experimente strukturiert darstellen. Pfade und Wahrscheinlichkeiten eintragen.
P(A und B) = P(A) · P(B|A). Pfadwahrscheinlichkeit berechnen.
Mehrere günstige Pfade addieren. Gegenseitig ausschließende Ereignisse.
Unterschied erkennen. Wahrscheinlichkeiten entsprechend berechnen.
P(B|A) = P(A∩B) / P(A). Abhängige Ereignisse. Vierfeldertafel.
Permutationen, Kombinationen, Variationen. Fakultät und Binomialkoeffizient. Ab Sek II.
Baumdiagramm und Multiplikationsprinzip. Anzahl der Möglichkeiten bestimmen.
Anordnungen ohne Wiederholung. n! als Anzahl. Mit und ohne Wiederholung.
Auswahl ohne Reihenfolge. Binomialkoeffizient „n über k\".
Auswahl mit Reihenfolge. Mit und ohne Wiederholung. Formeln anwenden.
Bernoulli-Experiment. P(X=k) mit Binomialkoeffizient. Erwartungswert und Standardabweichung.
Prozessbezogene Kompetenzen, die alle mathematischen Inhaltsbereiche durchziehen: Modellieren, Argumentieren, Problemlösen, Kommunizieren und Darstellen als übergreifende mathematische Tätigkeiten.
Reale Situationen in mathematische Modelle übersetzen, Lösungsverfahren anwenden und Ergebnisse auf ihre sachliche Sinnhaftigkeit hin interpretieren und validieren.
Fähigkeit, den Informationsgehalt eines Sachaufgabentextes zu erfassen, relevante Größen von irrelevanten zu trennen sowie Gegebenes und Gesuchtes strukturiert festzuhalten.
Fähigkeit, eine reale Situation in eine mathematische Darstellungsform (Skizze, Gleichung, Tabelle o. Ä.) zu überführen und dabei geeignete Modellierungsmittel auszuwählen.
Fähigkeit, das aufgestellte mathematische Modell durch Anwendung bekannter Rechenverfahren zu lösen und den Lösungsweg nachvollziehbar zu dokumentieren.
Fähigkeit, ein rechnerisches Ergebnis in den Sachkontext zurückzuübersetzen sowie Maßeinheit und inhaltliche Plausibilität der Lösung kritisch zu prüfen.
Fähigkeit, die Güte und Grenzen eines mathematischen Modells zu beurteilen, getroffene Vereinfachungen zu benennen und das Modell bei Bedarf gezielt zu verfeinern.
Mathematische Aussagen durch logische Schlüsse, Definitionen und Regeln begründen sowie Beweisstrategien wie direkten Beweis, Widerspruchsbeweis und vollständige Induktion anwenden.
Fähigkeit, mathematische Behauptungen durch Rückgriff auf Definitionen, Axiome oder bereits bewiesene Sätze zu belegen und den grundlegenden Unterschied zwischen einem Beispiel und einem allgemeinen Beweis zu erläutern.
Fähigkeit, eine universell quantifizierte Aussage durch Angabe eines einzigen konkreten Gegenbeispiels zu widerlegen und damit deren Allgemeingültigkeit zu entkräften.
Fähigkeit, alle logisch möglichen Fälle einer Situation systematisch und lückenlos zu identifizieren und jeden Fall gesondert zu behandeln, um eine vollständige Aussage zu sichern.
Fähigkeit, ausgehend von gegebenen Voraussetzungen durch eine Kette logisch verknüpfter Schlussschritte direkt zur zu beweisenden Behauptung zu gelangen.
Fähigkeit, einen indirekten Beweis zu führen, indem das Gegenteil der Behauptung angenommen und daraus ein logischer Widerspruch hergeleitet wird.
Fähigkeit, Aussagen über alle natürlichen Zahlen mittels vollständiger Induktion zu beweisen: Induktionsanfang verifizieren und den Induktionsschritt (Übergang von n auf n+1) unter Nutzung der Induktionsvoraussetzung erbringen.
Anwendung heuristischer Strategien zur Bearbeitung neuartiger mathematischer Probleme sowie Reflexion und Verallgemeinerung der gefundenen Lösungswege.
Fähigkeit, eine unbekannte Aufgabenstellung durch genaues Lesen vollständig zu durchdringen, Bekanntes und Unbekanntes zu unterscheiden und ein klares Lösungsziel zu formulieren.
Fähigkeit, durch Untersuchung spezieller Fälle Regelmäßigkeiten zu entdecken und erkannte Muster zu einer allgemeinen Aussage oder Strategie zu verallgemeinern.
Fähigkeit, vom angestrebten Ziel aus rückwärts zu denken und durch Anwendung umgekehrter Operationen schrittweise zur Ausgangssituation zu gelangen.
Fähigkeit, ein komplexes Problem durch Reduktion auf eine einfachere Variante handhabbar zu machen und die dabei gewonnenen Einsichten auf das ursprüngliche Problem zu übertragen.
Fähigkeit, mathematische Problemstellungen durch geeignete visuelle Darstellungen (Skizze, Tabelle, Diagramm) zu veranschaulichen und dadurch Strukturen und Lösungsansätze zu erkennen.
Fähigkeit, den eigenen Lösungsweg hinsichtlich Effizienz und Korrektheit zu bewerten, alternative Strategien zu erwägen und gewonnene Erkenntnisse auf verwandte Probleme zu übertragen.